# Apuntes de Física I by Dr. Luis Conde

By Dr. Luis Conde

Similar mechanics books

Inverse Problems in Vibration

Within the first, 1986, variation of this ebook, inverse difficulties in vibration have been interpreted strictly: difficulties in regards to the reconstruction of a distinct, undamped vibrating method, of a designated style, from targeted vibratory behaviour, relatively targeted average frequencies and/or typical mode shapes.

Mechanics and Related Processes in Structured Agricultural Soils

Agricultural soils are subjected to many utilized mechanical stresses that impact their habit. Stresses come up from tillage machines, seeders and chemical compounds applicators, tractors, and gear for harvest and shipping. utilized stresses might compact or loosen the majority soil. Micro sections of soil (aggregates or clods) could be compacted in the course of tillage whereas the majority soil is loosened.

Extra info for Apuntes de Física I

Example text

1 Ð ÒØÖÓ ÒØÓ Ô Ö Ð Ñ × × Å Ð × ×Ø Ñ × Ó Ø Ò ×ÙÑ Ò Ó Ð × α = 1, 2, . . , N º½¸ N ÈÙ ×ØÓ ÕÙ m2 N Ð × Ú ÐÓ Ò s2 N ÑÓÚ Ñ Ð × CM ÈÓ× Ò Ð ÒØÖÓ Ó× Ô ÖØ ÙÐ ×º α=1 Ò Ó Ð º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ù ÓÒ × Ú ØÓÖ º¾ mα sα = M RCM + α=1 Ò s1 Y N RCM + mα mα sα = 0 y derivando Ù ÑÔÓ¸ Ý ×ÙÑ ÑÓ×¸ N Ä O × × ´ Åµ ÔÓÖ Ñ × × r2 X ÖÓ SCM α=1 ÑÔÐ Ð Ø Ò Á Ð × ×Ø Ñ º Ä R cm Z Ö Ò Ð × N Ñ ×Ñ Ð ÒØÖÓ r1 Sº α=1 Ò Ú ØÓÖ Ö ×Ô ØÓ Ú ÐÓ ¹ wα = dsα /dt × rα = RCM + sα Ó Ø Ò ÑÓ× ×Ø rα = RCM + sα ÑÙ Ú mα rα = ØÙ Ò Ó Ð Ö Ú Ò Ó ÔÓ× Ð × Ô ÖØ ÙÐ × α=1 N SCM Ò º¾¸ Ð mα vα Ð × Ô ÖØ ÙÐ × Ë ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ× º ÙÒ m1 ÙÒ ØÖ VCM Ð Ñ ×ÑÓº vα = VCM + wα × Ó Ø Ò Ð ÓÒ Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð × ÔÓ× ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ú ÐÓ Ú Ö× Ñ ÒØ N Ñ × × Ý ÕÙ ÕÙ ÒÓ ÖÓØ Ö ×Ô ØÓ × ½ Ø Ò Ö ÑÓ× Ô ÖØ ÙÐ Ð × Ô ÖØ ÙÐ × Ö ×Ô ØÓ Ò ÓÑÓ ÔÙ Ö Ò × Ö × Fαβ = −Fβα Ý dvα mα = dt Fαα = 0 Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Ð N N (Feα + FIα ) + Ó Ð Fαβ α=1 β=α α=1 ×ÙÑ ØÓÖ Ó Ð × ×Ø Ñ Ò Ð ÐØ Ñ Ô ÖØ ÙÐ × × ÒÙÐ Ù Ò × ÒÙÐÓº × Ö¸ ¸ N Fαβ = 0 ´ º µ α=1 β=α Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ M ½ ÒÐ º º¾ × dVCM = dt N (Feα + FIα ) α=1 Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ó × Ð Ñ ÒØ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ô ÖÓ Ð Ñ ×ÑÓ ×ÕÙ Ñ Ð × ×Ø Ñ Ð º º½º α = 1, 2, .

N × Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ×Ó Ö ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ò ÙÐ Ö ÑÓÚ Ñ Ò Ð × ØÓ Ð dΩ ∧ rα + 2 Ω ∧ vα + Ω ∧ (Ω ∧ rα ) dt mα ao + FIα = − FI = Ô ÖØ ÙÐ ×¸ Ð Ð ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ý ÑÔÐ ÔÙÒØ × Ò Ó Ð º º¿ Ò
ÓÒØÖ ÑÓ× Ð Ec = Ä Ò Ö Ò Ø Ð × ×Ø Ñ ÒÓ × Ù Ð Ð Ò Ö ÑÔÐÓ¸ Ù Ò Ó × Å ÒØ ÔÐ Ð ×Ó Ö α=1 ÁÒØ Ö Ò Ó ÒØÖ Ó× Ò×Ø ÒØ × N Wsis = ∆Ec = α=1 ÓÒ ×Ù ×Ø ØÙÝ Ò Ó ta Ra ÐÙ Ò Ø Ó Ø Ò Ö Ð ØÖ Fα · drα = mα α=1 ×Ô º Ð ×¸ ÔÓÖ dWα ÕÙ Ø Ð Ù ÖÞ Wsis ¸ Ð × ×Ø Ñ dvα · drα dt Ý α=1 tb (Feα + FIα ) · drα + Ø Ò Ö ÑÓ× N α=1 ta α=1 β=α Fαβ · drα Wsis = ∆Ec ¸ N tb = a N N (Feα + FIα ) · drα + tb α=1 β=α ta Fαβ · drα drα = dRCM + dsα ¸ N FT · dRCM + N tb (Feα + FIα ) · dsα + α=1 ta tb ta α=1 β=α Fαβ · dsα ´ º µ Ó¸ N N Wα + Wint = Wint + Wext Wsis = WCM + ÓÒ ¸ À ÑÓ× Ú ×ØÓ ÕÙ Å Wα Ó× α=1 Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð × ×Ø Ñ Ú ÐÙ Ò WCM Ý Ø ÖÑ ÒÓ × Ð ØÖ Wα Wext = WCM + α=1 Ð ÙÒ Ò Ð Ð × ×Ø Ñ º Ó ×Ó Ö N Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ð ÙÒÓ× ×Ó× Ó× Ò Ò Ø × Ñ Ð × dt = b mα vα2 2 Rb Wsis = Ò Ð S¸ dvα · vα dt mα Ò Ö ×ÙÑ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× N α=1 ´ º µ ÓÑÓ ÙÒ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × dWα = ÖÓ N Ð Ô ÖØ ÙÐ ×¸ × ÐÚÓ Ó× α=1 dWsis = Ý ÖÓ SCM º Ý ×ÙÑ ÖÐÓ× Ô Ö dWsis = Ð ØÖ S Ð ØÖ Á Ò¸ ×
ÓÑÔÓÒ Ö× ÑÓ× Ð
ÙÐ Ö ÐÓ× ØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ò Ö ×Ô ØÓ ÜÔÖ × mα wα2 = Ecin + Ec′ 2 α=1 Å Ö ×Ô ØÓ ×Ô ØÓ N Ø Ñ N Ð × ×Ø Ñ º½ ÔÓ ÒØ ÒØÓÒ × Ò ÒÙÐÓ× ÐÓ× ØÖ º Ù 2 M VCM + 2 ÔÙ 2 Ò Ø ´Ecin = M VCM /2µ Ð ′ 2 Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ´Ec = mα wα /2µ Ö º × × ÖÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù SCM º Ä ÒØ × Ð ×ÙÑ Ð ØÖ Ó ×ÙÑ Ð ÐÓ× ØÖ ×ØÓ× Ö ×ÙÐØ ÒØ Ó× Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ð ØÖ FT Ð × Ù ÖÞ × ÙÒ Ð × Ò Ù ÖÞ × Ó ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð × Ô ÖØ ÙÐ ×º Ð Ø Ö Ö ×ÙÑ Ò Ó × ÒØÓÒ × Ð Ù ÖÞ × ÜØ ÖÒ × Wext ÔÐ × Ð × ×Ø Ñ ØÖ Ó ØÙ Ó ÔÓÖ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Wint Ý Ý ÕÙ ×Ù Ö Ý Ö ÕÙ ÙÒÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ ÒØ ´ º º µ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × × ÒÙÐ ¸ Ò Ò Ö Ð Ð ØÖ Ó ×Ø × × Wint = 0º ÒØÖ ÐÓ× Ò×Ø ÒØ × ta Ý tb ÔÓ N ÑÓ× Ð tb Wint = α=1 β=α ×
ÓÑÔÓÒ Ö ta Ó Ð ×ÙÑ ØÓÖ Ó¸ tb Fαβ · dsα = pares (α,β) ta (Fαβ · dsα + Fβα · dsβ ) ¿¿ ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÍÒ Ú Ö× ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Fαβ = −Fβα ¸ Ý ÔÙ ×ØÓ ÕÙ tb Wint = Ð ØÖ Ó ÒØÖ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Ö ×ÙÐØ Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ´Ú Ö º º¾µ Ý Fαβ · d[sα − sβ ] ta pares (α,β) × Ö ÙÒ Ò Ò Ö Ð Ò Ð × Wint ÒÓ × Ö ´ º µ ×Ø Ò ×Ö Ð Ø Ú × ÒÙÐÓº Ü ×Ø Ò × Ò sα −sβ = rα −rβ Ñ Ö Ó Ð Ð Ð ÙÒ × Ü Ô ÓÒ × ÔÖ Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÓÑÓ¸ ÈÓÐ × Ý Ð × × Ö Ð ØÖ ÒÙÐÓ ÔÓÖÕÙ Ð Ó Ð × Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × Ü ×Ø Ö Ð Ð ÙÖ Ð ÙÒ × ×Ø Ñ Ð Ð ´ ÐÓÒ ÓÑÓ ØÙ º ¿º½½ ÓÒ×Ø ÒØ µ Ø Ò Ö ÑÓ× d[rα − rβ ] = 0 Ë Ð ÓÖ Ó Ò ÙÒ × Ð rα − rβ Ô ÖØ ÙÐ × Ó Ö Ó Ð ´ Ò ÓÖÑ ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ë Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × ×ÓÒ ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ×¸ Ð µ Ð × ×Ø Ò × Ö Ð Ø Ú × ÒØÖ ×Ù× Wint = 0º dU (|sα − sβ |) = −Fαβ · d(sα − sβ ) Ý ÒØÓÒ ×¸ sb Wint = ÓÒ Ø Ò ÑÓ× ÒØ ÖÒ × ÓÑ × Ò sα − sβ = rα − rβ ×Ø Ò Ò Ó Ð × α=1 ÒÓØ Ò ÓÑÓ × Ð Ñ ×ÑÓ Ù ÓÒ × N Ó ÓÒ Ð ×Ó º Ý b mα wα2 2 º N ÔÙ Ò ÐÓ× ØÖ ØÖ ÖÓ Ú ÐÙ × Ó ØÖ ÓÑÓ Ú ÑÓ×¸ Ð Ò×Ø ÒØ × Ø Ú Ö Ð Ð ØÖ ÖÓ Ý Ð ØÖ Ð ÑÓ× Ò Ö Ò Ø ¿ ×
Ö Ð ØÖ Ó Ð × Ù ÖÞ × Sº Ý 2 /2] WCM = ∆[mVCM tb ´ º º µ Ó Ø Ò ÑÓ×¸ sb α=1 β=α sa Fαβ · dsα Ò Ð Wα + Wint Ó Ð × ´ º½¼µ α=1 ta Ò Ö N = Ú Ö Ó Ò Ð Ò Ö Ù ÖÞ × Ò Ø ÜØ ÖÒ × Ð × ×Ø Ñ ÔÐ × ×Ó Ö Ö ×Ô ØÓ ÖÐ Ò Ø ÓÑÓ ×ÙÑ Ð Ò Ø Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ÖÐ ØÚ tb 2 M VCM 2 Ó× Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × ´ N mα wα2 2 tb ÔÖ Ñ Ö ´ Ð ØÖ + ta α=1 Ù ÓÒ ×º ÍÒ S Å Ö ×Ô ØÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ ¸ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ ×º º º µ ÒØÖ Ó× ÑÔÓ ∆Ec = ÔÓ º¾º ÒØ Ö ÓÖ¸ ÓÑÓ ×ÙÑ Ò º N ta α=1 Ò ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ SCM SCM (Feα + FIα ) · dsα + mα wα2 2 α=1 ÜÔÖ × Ò Ð tb N ×Ø Ú Ö ÖÓ× ÓÑÓ = a Fα,β · d[sα − sβ ] = −∆Uint sa pares (αβ) Ý Ð ÖÓ × ÙÒ SCM ´ º ta º º½¼µ Ô Ö Ð ÒØÖÓ º µ Ô Ö Ð Ñ × ×¸ Ú Ö Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÔÙÒØ × tb 2 M VCM 2 N α=1 b mα wα2 2 N LA Ú ØÓÖ Ð FT · dRCM N º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ra ta ÙÒ × ×Ø Ñ ÙÒ × ×Ø Ñ ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ò Ø Ó× Wα + Wint (Feα + FIα ) · dsα + Wint = α=1 sa Á Rb = sb = a × α=1 Ô ÖØ ÙÐ × Ô ÖØ ÙÐ × Ö ×Ô ØÓ LA α ÙÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð × Ô ÖØ ÙÐ × A Ð × ×Ø Ñ × Ð ×ÙÑ Ö ×Ô ØÓ Ó ÔÙÒØÓ¸ N N LA α = LA = α=1 α=1 Ë ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð × ×Ø Ñ Å ÓÒ Ð Ñ Ó (rα − rA ) ∧ mα vα rα = RCM + sα ´ º½½µ vα = VCM + wα Ý ÒØÓÒ ×¸ N LA = α=1 mα [RCM + sα − rA ] ∧ [VCM + wα ] N N mα LA = α=1 (RCM − rA ) ∧ VCM + (RCM − rA ) ∧ mα w α N mα sα + α=1 ÓÒ ×ÓÒ Ó× Ø ÖÑ ÒÓ× ÒÙÐÓ× ´Ú Ö Ð × ×º ∧ VCM + º¿µ Ý ÕÙ + α=1 N α=1 sα ∧ mα wα Ò ÐÑ ÒØ ¸ N LA = (RCM − rA ) ∧ M VCM + Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓ × Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð × ×Ø Ñ α=1 sα ∧ mα wα Ö ×Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ SCM N LCM = α=1 sα ∧ mα wα Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ LA = LCM + (RCM − rA ) ∧ M VCM ÈÓ ÑÓ× ×
ÓÑÔÓÒ Ö ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Å Ö ×Ô ØÓ Ë Ð Ý ÔÓ× Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö ×Ô ØÓ Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × LCM ´ º½¾µ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö ×Ô ØÓ Ð A Ò Ð Å Ñ × ×ÙÑ Ú ØÓÖ Ð Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ó ÔÙÒØÓº A ÒÓ Ñ Ö Ú ÑÓ× Ö ×Ô ØÓ Ð Ø ´ Ð Ú ØÓÖ ÑÔÓ Ð º rA × Ø º Ò Ð Ø ÑÔÓ Ý º½½¸ vA = 0 Ó Ò A ≡ CM N dvα dLA (rα − rA ) ∧ mα = dt dt α=1 ¿ µ ºÌºËº ÓÒ ÁÒ ÔÓ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÍÒ Ú Ö× ÑÓ× ×Ù×Ø ØÙ Ö Ð × Ù ÖÞ × Ð º Å Ö º½¸ N N dLA = (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) + dt α=1 α=1 Ù Ò Ó Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × ×ÓÒ dLA /dt ÈÓÐ Ø Ò ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ¸ Fαβ = −Fαβ Ý Ø Ñ β=α (rα − rA ) ∧ Fαβ Ò Ô Ö Ð Ð × rα − rβ ÒÓ ÓÒØÖ ÙÝ Ò N (rα − rA ) ∧ Fαβ = α=1 β=α pares (α,β) (rα − rA ) ∧ Fαβ + (rβ − rA ) ∧ Fβα = pares (α,β) ÔÓÖ × Ö ÒÙÐÓ Ð ÐØ ÑÓ ×ÙÑ Ò Óº Ì Ò Ö ÑÓ× (rα − rβ ) ∧ Fαβ = 0 Ò ÐÑ ÒØ ¸ N dLA (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) = dt α=1 Ò FIα ÓÒ Ò Ø Ó × A Ð ÔÙÒØÓ ×ÓÒ Ð × Ù Ð Ð ÐÓ× Ú ØÓÖ × rα − rβ º siendo, Mα dLA /dt ÙÝ Ò º º½º Sº Ä Mα Ò Ö Ú Ö ×Ô ØÓ Ð × Ù ÖÞ × Ð Ø ÔÐ ÑÔÓ × Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð × ×Ø Ñ Ö ×Ô ØÓ Mα = (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) α Ô Ö Ò ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ý ÒÓ ÓÒØÖ º º Ò Ö ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ó¸ dLA = dt Ë ÐÓ Ù ÖÞ × ×ÙÑ ´ º½¿µ Mα A Ö ×Ô ØÓ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Ð × Ù ÖÞ × Fαβ = −Fαβ ÜØ ÖÒ × Ý Ù Ò Ó Ò Ö ×Ø × Ø Feα + FIα Ò ÐÓ Ð Ó ÔÐ ÓÒ × Ë ×Ø Ñ Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ô ÖØ ÙÐ × Ñ × × ÑÔÐ ¾ Ñ × × m1 Ý m2 º Ë ÔÓ× Ð × Ð Ð º º¿ ÓÖÑ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð × ÔÓ× ÓÒ × Ö ×Ô ØÓ Ó × Ð Ñ ÒØ Ð Å ÔÓÖ Ó× Ð × ×Ø Ñ ¸ r1 = s1 + RCM , r2 = s2 + RCM y r1 − r2 = s1 − s2 Ë Ò Ð º º¾ Ô Ö Ð Ú ØÓÖ RCM Ó× Ô ÖØ ÙÐ × ×ÙÑ ÑÓ× Ý Ö ×Ø ÑÓ× m2 r1 × Ø Ò ¸ (m1 + m2 ) RCM + m2 r1 = m1 r1 + m2 r2 + m2 r1 ¾ (m1 + m2 ) RCM + m2 (r1 − r2 ) = (m1 + m2 )r1 ÈÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ð Ë º º¾¸ Ô ×º ¾¾¾¹¾¾ º ¸ Ô ×º ¾ ¾¹¾ Ð Ê º ½℄º ¿ Ð Ê º ℄¸ Ë º º ¸ Ô ×º ½ ¹½ Ð Ê º ¾℄ Ý Ð ÑÔÐÓ ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÐÙ ÔÙÒØ × Ó¸ r1 = RCM + Ý ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ¸ m2 (r1 − r2 ), m1 + m2 r1 = RCM + × Á m2 (s1 − s2 ) m1 + m2 r2 = r1 − (s1 − s2 )¸ m2 m1 − 1 (s1 − s2 ) = RCM − (s1 − s2 ) m1 + m2 m1 + m2 r2 = RCM + Ò ÐÑ ÒØ ¸ r1 = RCM + ÁÒØÖÓ Ù ÑÓ× m2 (s1 − s2 ) m1 + m2 Ð Ú ØÓÖ¸ q = s1 − s2 = r1 − r2 ÙÝÓ Ñ ÙÐÓ Ø ÙÐ × Ý Ð × Ð ×Ø Ò Ù ÓÒ × ÕÙ Ò q Ö Ú Ð Ú ØÓÖ Ð Ý ×Ù Ö Ð Ø Ú ÒØÓÒ × ÜÔÖ × × Ð Ø Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ò Ö Ò Ø ×Ø µ q m1 µ vq m1 × ×Ø Ñ ×Ù ×Ø ØÙÝ Ò Ó Ð × Ú ÐÓ Ec = ÇÔ Ö Ò Ó Ö ×ÙÐØ Ò ÐÑ ÒØ × Ò Ö Ð Ñ × ÍÒ Ö ×ÙÐØ Ò Ø × Ö º Ù Ù Ó Ò ÐÓ Ó × ×
ÓÑÔÓÒ Ó Ø Ò Ò 2 s2 m2 Y º¿ Ë ×Ø Ñ Ó× Ô ÖØ ÙÐ ×º µ q m2 ´ º½ µ Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × Ú ÐÓ µ vq m2 ×¸ ´ º½ µ ×¸ m1 v12 m2 v22 + 2 2 º½ ¸ Ec = Ð ÙÖ v2 = VCM − 1 (m1 + m2 ) 2 VCM + µ2 2 2 ÙÒ = s1 −s R cm O r2 = RCM − Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ec = ÓÒ × 2 r2 Ò ÑÔÓ ÕÙ r1 −r CM Z vq = s˙1 − s˙2 = r˙1 − r˙2 v1 = VCM + Ä Ò ÙÒ q= s1 r1 X Ö ×Ô ØÓ Ö Ú Ò Ó Ö ×Ô ØÓ Ó× Ô Ö¹ m1 m2 m1 + m2 r1 = RCM + Ý Ð × Ð × ×Ø Ñ ¸ vq ¸ Ú ÐÓ m1 ´ º½ µ ÒØÖ Ñ × Ö Ù ÒÓÑ Ò µ= Ä × m1 (s1 − s2 ) m1 + m2 r2 = RCM − Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ 1 1 + m1 m2 Ð º vq2 º ¸ M 2 µ V + vq2 2 CM 2 Ó× Ø ÖÑ ÒÓ×¸ Ð × Ð
ÙÐ ÑÓ× Ð ÒØÖÓ ´ º½ µ Ñ × × Ý ÓØÖ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö ×Ô ØÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ó¸ Lo = r1 ∧ m1 v1 + r2 ∧ m2 v2 ¿ ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÓÔ Ö Ò Ó × Ó Ø ÄÐ ÑÓ× Ð Ò ÐÑ ÒØ Ò Ö Å µ2 µ2 + m1 m2 ÙÒ Ò Ø ×
ÓÑÔÓ× ÕÙ ÕÙ Ú Ð Ò Ð (q ∧ vq ) Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó º Ò ÐÓ Ð ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ× º½¾¸ L = RCM ∧ M VCM + q ∧ µ vq Ä × Ù ÓÒ × × ×Ø Ñ Ð º½ º Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý º½ º¾º Ò ×º º½ ¸ × m1 Ý ÓÒ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ð Ð ×Ó Ñ × Fi12 = −Fi21 m1 ËÙÑ Ò Ó Ð × Fe1 = Fe1 + FI1 Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × ÐÓ ÒØ ÖÚ º º¾º ÅÓÚ Ñ ÍÒ ×Ó ÕÙ º Ò Ò Ð × Ù ÖÞ × ÒØÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ò m2 Ý Ò Ø ×Ø Fe1 Ø ÒØÖ º ÒØ Ö × Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ´ ×Ø Ò ÒÑ Ú Ð Ö Ø º ÑÓÚ Ñ Ð Ð ÑÓÚ Ñ ÙÒ ÒØÓ Ô Ö ÒØÓ ÒØÓ ×ÓÒ¸ ´ º½ µ Ò
ÓÒØÖ ÑÓ×¸ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ × ×¸ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ô Ò Ð × Ñ × × Ð ØÖÓ×Ø Ø Ó ´ Ó× Ð ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ Ð r1 ÓÒ × Ò Ð ÑÓÚ Ñ Ð Ò y Ñ × × ×Ø Ò m1 Ý m2 Ö Ð Ø Ú ¸ r1 − r2 |r1 − r2 | Ý m2 º º ¿º µº Ë ×Ø ÑÔÐ Ø ÔÓ ÑÓ× Ù ÖÞ × Ô ÖØ Ò Ð Ú ØÓÖ q = r1 − r2 q q ÒØ Ö ÓÖº Ë ÒØÓ Ò Ö m1 ×Ù ÐÓ× ÔÓØ Ò ÓÒ× F(q) = − Ö ÑÓ× ÕÙ Ó× Ù ÖÔÓ× × Ð U (q) r1 ¸ F(q) = −∇U (q) ¿ Ò ÙÒ × ÑÓÚ Ñ dVCM = Fe1 + Fe2 dt Ù ÖÞ × ÕÙ ÕÙ º ¿º¾µ Ó Ò ÙÒ ÑÔÓ |q| Ø Ð ÜØ ÖÒ ×º × ÒØ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ô ÖØ ÙÐ Ù ÓÒ × Fe2 = Fe2 + FI2 º½ µ¸ Ô ÖÑ Ò Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × dv2 = Fe2 + Fi21 dt F(q) = F (q) Ý ÔÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ù ÖÞ × ÒØÖ Ð × × Ñ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÑÔÓ ´ Ý × ×Ø Ñ Fee º Ä Ý F(|r1 − r2 |) = F (|r1 − r2 |) Ý ÕÙ ´ º½ µ dv1 dv2 + m2 = (Fe1 + FI1 + F21 ) + (Fe2 + FI2 + F12 ) dt dt M = m1 + m2 ÓÒ ÜØ Ö ÓÖ × dv1 = Fe1 + Fi21 dt Ò Ó Ò Ö Ò Ö Ð ×Ó Ö Ý Ù ÖÞ × M Ò Ö Ò ¸ Lo = RCM ∧ M VCM + Ô Ö ÈÓÐ Ø Ò µ µ q) ∧ (m1 VCM + µ vq ) + (RCM − q) ∧ (m2 VCM − µ vq ) m1 m2 Lo = (RCM + ÓÒ ÍÒ Ú Ö× dU q dq q Ô Ò Ö Ù Ð Ñ × Ð × Ð Ñ ÒØ m1 ÙÒ Ð ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÔÐ Ò Ó Ð ÔÓÖ ÔÙÒØ × º Ð ÔÙÒØÓ × ×Ø Ñ º½¾º Ë r1 Ó Ð ÕÙ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × ÑÓ Ó ÕÙ Ð Å ÓÑÓ × Ð º ÒÓÑ Ò Ò
Ù ÒØÖ Ð × ×Ø Ñ Ù Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ù Ö Ó ÒØÖÓ Ù ÖÞ ×º ÓÒ× Ö Ö ×Ð Ó¸ × Ö¸ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò × ÙÒ ×Ô Ó × ÙÒ ØÖ º Ð ÖÓ Ò Ö ÒØ × Ò Ô × × Á ÑÔÖ ÑÓ× Ñ × ÕÙ Ð Ù ÖÞ × ÜØ ÖÒ × Ðº ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ×Ø × ×Ø Ñ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ p1 + p2 = (m1 + m2 ) VCM Ý ×Ù× Ú ÐÓ × Ø × p′1 Ý p′2 Ö ×Ô = 0º ÑÔÐ × ′ Ò p1 p′2 + ØÓ ÙÒ Ö Ò Ó Ð × Ö Ò ×º µ ÓÒ × Ð Ñ × Ö Ù ¸ º½ ¸ q = r1 − r2 dvq = r¨1 − r¨2 = dt Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ù Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ F(q)¸ Ð Ö ×Ô ØÓ ÙÒ × × ÑÔÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ð × Ú ÐÓ ÑÔÐ Ò Ó Ð Ò
Ù ÒØÖ ÓÒ Ò q = r1 − r2 F = −∇U Ý Ð º F(q) ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ý vq º Ø Ñ Ò
ÓÒØÖ Ö× ×
ÓÑÔÓÒ ÑÓ× Ð q = r1 − r2 Ý º½¿ ÔÓ Ò Ð ×Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÕÙ vθ Ð Ð Ö ÕÙ E = Ec + U (q) = Ð Å Ð × ×Ø Ñ Ê ×Ø Ò Ó Ð × ×º ÑÓÚ Ñ Ù ÖÞ Ó ÙÐ Ö ÕÙ × ÑÙ Ú º½ Ý Ó Ð Ò Ð ×Ø Ò q = r1 − r2 × × ÓÒ× ÖÚ ¸ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó¸ Ð ÑÓÚ Ñ LCM Ò ÒØÖ Ð F ÒØÓ Ð ÕÙ × Ñ × ÔÓ ÒØ Ö ÓÖ ´Ú Ö È º Ó× ÐÓ× Ú ØÓÖ × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ÑÓ× Ò ×Ù× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ö LCM = cte.

N × Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ×Ó Ö ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ò ÙÐ Ö ÑÓÚ Ñ Ò Ð × ØÓ Ð dΩ ∧ rα + 2 Ω ∧ vα + Ω ∧ (Ω ∧ rα ) dt mα ao + FIα = − FI = Ô ÖØ ÙÐ ×¸ Ð Ð ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ý ÑÔÐ ÔÙÒØ × Ò Ó Ð º º¿ Ò
ÓÒØÖ ÑÓ× Ð Ec = Ä Ò Ö Ò Ø Ð × ×Ø Ñ ÒÓ × Ù Ð Ð Ò Ö ÑÔÐÓ¸ Ù Ò Ó × Å ÒØ ÔÐ Ð ×Ó Ö α=1 ÁÒØ Ö Ò Ó ÒØÖ Ó× Ò×Ø ÒØ × N Wsis = ∆Ec = α=1 ÓÒ ×Ù ×Ø ØÙÝ Ò Ó ta Ra ÐÙ Ò Ø Ó Ø Ò Ö Ð ØÖ Fα · drα = mα α=1 ×Ô º Ð ×¸ ÔÓÖ dWα ÕÙ Ø Ð Ù ÖÞ Wsis ¸ Ð × ×Ø Ñ dvα · drα dt Ý α=1 tb (Feα + FIα ) · drα + Ø Ò Ö ÑÓ× N α=1 ta α=1 β=α Fαβ · drα Wsis = ∆Ec ¸ N tb = a N N (Feα + FIα ) · drα + tb α=1 β=α ta Fαβ · drα drα = dRCM + dsα ¸ N FT · dRCM + N tb (Feα + FIα ) · dsα + α=1 ta tb ta α=1 β=α Fαβ · dsα ´ º µ Ó¸ N N Wα + Wint = Wint + Wext Wsis = WCM + ÓÒ ¸ À ÑÓ× Ú ×ØÓ ÕÙ Å Wα Ó× α=1 Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð × ×Ø Ñ Ú ÐÙ Ò WCM Ý Ø ÖÑ ÒÓ × Ð ØÖ Wα Wext = WCM + α=1 Ð ÙÒ Ò Ð Ð × ×Ø Ñ º Ó ×Ó Ö N Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ð ÙÒÓ× ×Ó× Ó× Ò Ò Ø × Ñ Ð × dt = b mα vα2 2 Rb Wsis = Ò Ð S¸ dvα · vα dt mα Ò Ö ×ÙÑ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× N α=1 ´ º µ ÓÑÓ ÙÒ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × dWα = ÖÓ N Ð Ô ÖØ ÙÐ ×¸ × ÐÚÓ Ó× α=1 dWsis = Ý ÖÓ SCM º Ý ×ÙÑ ÖÐÓ× Ô Ö dWsis = Ð ØÖ S Ð ØÖ Á Ò¸ ×
ÓÑÔÓÒ Ö× ÑÓ× Ð
ÙÐ Ö ÐÓ× ØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ò Ö ×Ô ØÓ ÜÔÖ × mα wα2 = Ecin + Ec′ 2 α=1 Å Ö ×Ô ØÓ ×Ô ØÓ N Ø Ñ N Ð × ×Ø Ñ º½ ÔÓ ÒØ ÒØÓÒ × Ò ÒÙÐÓ× ÐÓ× ØÖ º Ù 2 M VCM + 2 ÔÙ 2 Ò Ø ´Ecin = M VCM /2µ Ð ′ 2 Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ´Ec = mα wα /2µ Ö º × × ÖÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù SCM º Ä ÒØ × Ð ×ÙÑ Ð ØÖ Ó ×ÙÑ Ð ÐÓ× ØÖ ×ØÓ× Ö ×ÙÐØ ÒØ Ó× Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ð ØÖ FT Ð × Ù ÖÞ × ÙÒ Ð × Ò Ù ÖÞ × Ó ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð × Ô ÖØ ÙÐ ×º Ð Ø Ö Ö ×ÙÑ Ò Ó × ÒØÓÒ × Ð Ù ÖÞ × ÜØ ÖÒ × Wext ÔÐ × Ð × ×Ø Ñ ØÖ Ó ØÙ Ó ÔÓÖ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Wint Ý Ý ÕÙ ×Ù Ö Ý Ö ÕÙ ÙÒÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ ÒØ ´ º º µ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × × ÒÙÐ ¸ Ò Ò Ö Ð Ð ØÖ Ó ×Ø × × Wint = 0º ÒØÖ ÐÓ× Ò×Ø ÒØ × ta Ý tb ÔÓ N ÑÓ× Ð tb Wint = α=1 β=α ×
ÓÑÔÓÒ Ö ta Ó Ð ×ÙÑ ØÓÖ Ó¸ tb Fαβ · dsα = pares (α,β) ta (Fαβ · dsα + Fβα · dsβ ) ¿¿ ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÍÒ Ú Ö× ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Fαβ = −Fβα ¸ Ý ÔÙ ×ØÓ ÕÙ tb Wint = Ð ØÖ Ó ÒØÖ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Ö ×ÙÐØ Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ´Ú Ö º º¾µ Ý Fαβ · d[sα − sβ ] ta pares (α,β) × Ö ÙÒ Ò Ò Ö Ð Ò Ð × Wint ÒÓ × Ö ´ º µ ×Ø Ò ×Ö Ð Ø Ú × ÒÙÐÓº Ü ×Ø Ò × Ò sα −sβ = rα −rβ Ñ Ö Ó Ð Ð Ð ÙÒ × Ü Ô ÓÒ × ÔÖ Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÓÑÓ¸ ÈÓÐ × Ý Ð × × Ö Ð ØÖ ÒÙÐÓ ÔÓÖÕÙ Ð Ó Ð × Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × Ü ×Ø Ö Ð Ð ÙÖ Ð ÙÒ × ×Ø Ñ Ð Ð ´ ÐÓÒ ÓÑÓ ØÙ º ¿º½½ ÓÒ×Ø ÒØ µ Ø Ò Ö ÑÓ× d[rα − rβ ] = 0 Ë Ð ÓÖ Ó Ò ÙÒ × Ð rα − rβ Ô ÖØ ÙÐ × Ó Ö Ó Ð ´ Ò ÓÖÑ ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ë Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × ×ÓÒ ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ×¸ Ð µ Ð × ×Ø Ò × Ö Ð Ø Ú × ÒØÖ ×Ù× Wint = 0º dU (|sα − sβ |) = −Fαβ · d(sα − sβ ) Ý ÒØÓÒ ×¸ sb Wint = ÓÒ Ø Ò ÑÓ× ÒØ ÖÒ × ÓÑ × Ò sα − sβ = rα − rβ ×Ø Ò Ò Ó Ð × α=1 ÒÓØ Ò ÓÑÓ × Ð Ñ ×ÑÓ Ù ÓÒ × N Ó ÓÒ Ð ×Ó º Ý b mα wα2 2 º N ÔÙ Ò ÐÓ× ØÖ ØÖ ÖÓ Ú ÐÙ × Ó ØÖ ÓÑÓ Ú ÑÓ×¸ Ð Ò×Ø ÒØ × Ø Ú Ö Ð Ð ØÖ ÖÓ Ý Ð ØÖ Ð ÑÓ× Ò Ö Ò Ø ¿ ×
Ö Ð ØÖ Ó Ð × Ù ÖÞ × Sº Ý 2 /2] WCM = ∆[mVCM tb ´ º º µ Ó Ø Ò ÑÓ×¸ sb α=1 β=α sa Fαβ · dsα Ò Ð Wα + Wint Ó Ð × ´ º½¼µ α=1 ta Ò Ö N = Ú Ö Ó Ò Ð Ò Ö Ù ÖÞ × Ò Ø ÜØ ÖÒ × Ð × ×Ø Ñ ÔÐ × ×Ó Ö Ö ×Ô ØÓ ÖÐ Ò Ø ÓÑÓ ×ÙÑ Ð Ò Ø Ð × Ô ÖØ ÙÐ × ÖÐ ØÚ tb 2 M VCM 2 Ó× Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × ´ N mα wα2 2 tb ÔÖ Ñ Ö ´ Ð ØÖ + ta α=1 Ù ÓÒ ×º ÍÒ S Å Ö ×Ô ØÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ ¸ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ ×º º º µ ÒØÖ Ó× ÑÔÓ ∆Ec = ÔÓ º¾º ÒØ Ö ÓÖ¸ ÓÑÓ ×ÙÑ Ò º N ta α=1 Ò ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ SCM SCM (Feα + FIα ) · dsα + mα wα2 2 α=1 ÜÔÖ × Ò Ð tb N ×Ø Ú Ö ÖÓ× ÓÑÓ = a Fα,β · d[sα − sβ ] = −∆Uint sa pares (αβ) Ý Ð ÖÓ × ÙÒ SCM ´ º ta º º½¼µ Ô Ö Ð ÒØÖÓ º µ Ô Ö Ð Ñ × ×¸ Ú Ö Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÔÙÒØ × tb 2 M VCM 2 N α=1 b mα wα2 2 N LA Ú ØÓÖ Ð FT · dRCM N º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ra ta ÙÒ × ×Ø Ñ ÙÒ × ×Ø Ñ ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ò Ø Ó× Wα + Wint (Feα + FIα ) · dsα + Wint = α=1 sa Á Rb = sb = a × α=1 Ô ÖØ ÙÐ × Ô ÖØ ÙÐ × Ö ×Ô ØÓ LA α ÙÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð × Ô ÖØ ÙÐ × A Ð × ×Ø Ñ × Ð ×ÙÑ Ö ×Ô ØÓ Ó ÔÙÒØÓ¸ N N LA α = LA = α=1 α=1 Ë ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð × ×Ø Ñ Å ÓÒ Ð Ñ Ó (rα − rA ) ∧ mα vα rα = RCM + sα ´ º½½µ vα = VCM + wα Ý ÒØÓÒ ×¸ N LA = α=1 mα [RCM + sα − rA ] ∧ [VCM + wα ] N N mα LA = α=1 (RCM − rA ) ∧ VCM + (RCM − rA ) ∧ mα w α N mα sα + α=1 ÓÒ ×ÓÒ Ó× Ø ÖÑ ÒÓ× ÒÙÐÓ× ´Ú Ö Ð × ×º ∧ VCM + º¿µ Ý ÕÙ + α=1 N α=1 sα ∧ mα wα Ò ÐÑ ÒØ ¸ N LA = (RCM − rA ) ∧ M VCM + Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓ × Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð × ×Ø Ñ α=1 sα ∧ mα wα Ö ×Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ SCM N LCM = α=1 sα ∧ mα wα Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ LA = LCM + (RCM − rA ) ∧ M VCM ÈÓ ÑÓ× ×
ÓÑÔÓÒ Ö ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Å Ö ×Ô ØÓ Ë Ð Ý ÔÓ× Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö ×Ô ØÓ Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × LCM ´ º½¾µ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö ×Ô ØÓ Ð A Ò Ð Å Ñ × ×ÙÑ Ú ØÓÖ Ð Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ó ÔÙÒØÓº A ÒÓ Ñ Ö Ú ÑÓ× Ö ×Ô ØÓ Ð Ø ´ Ð Ú ØÓÖ ÑÔÓ Ð º rA × Ø º Ò Ð Ø ÑÔÓ Ý º½½¸ vA = 0 Ó Ò A ≡ CM N dvα dLA (rα − rA ) ∧ mα = dt dt α=1 ¿ µ ºÌºËº ÓÒ ÁÒ ÔÓ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÍÒ Ú Ö× ÑÓ× ×Ù×Ø ØÙ Ö Ð × Ù ÖÞ × Ð º Å Ö º½¸ N N dLA = (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) + dt α=1 α=1 Ù Ò Ó Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × ×ÓÒ dLA /dt ÈÓÐ Ø Ò ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ¸ Fαβ = −Fαβ Ý Ø Ñ β=α (rα − rA ) ∧ Fαβ Ò Ô Ö Ð Ð × rα − rβ ÒÓ ÓÒØÖ ÙÝ Ò N (rα − rA ) ∧ Fαβ = α=1 β=α pares (α,β) (rα − rA ) ∧ Fαβ + (rβ − rA ) ∧ Fβα = pares (α,β) ÔÓÖ × Ö ÒÙÐÓ Ð ÐØ ÑÓ ×ÙÑ Ò Óº Ì Ò Ö ÑÓ× (rα − rβ ) ∧ Fαβ = 0 Ò ÐÑ ÒØ ¸ N dLA (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) = dt α=1 Ò FIα ÓÒ Ò Ø Ó × A Ð ÔÙÒØÓ ×ÓÒ Ð × Ù Ð Ð ÐÓ× Ú ØÓÖ × rα − rβ º siendo, Mα dLA /dt ÙÝ Ò º º½º Sº Ä Mα Ò Ö Ú Ö ×Ô ØÓ Ð × Ù ÖÞ × Ð Ø ÔÐ ÑÔÓ × Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð × ×Ø Ñ Ö ×Ô ØÓ Mα = (rα − rA ) ∧ (Feα + FIα ) α Ô Ö Ò ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ý ÒÓ ÓÒØÖ º º Ò Ö ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ× Ó¸ dLA = dt Ë ÐÓ Ù ÖÞ × ×ÙÑ ´ º½¿µ Mα A Ö ×Ô ØÓ Ð × Ù ÖÞ × ÒØ ÖÒ × Ð × Ù ÖÞ × Fαβ = −Fαβ ÜØ ÖÒ × Ý Ù Ò Ó Ò Ö ×Ø × Ø Feα + FIα Ò ÐÓ Ð Ó ÔÐ ÓÒ × Ë ×Ø Ñ Ð × ×Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ × Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ô ÖØ ÙÐ × Ñ × × ÑÔÐ ¾ Ñ × × m1 Ý m2 º Ë ÔÓ× Ð × Ð Ð º º¿ ÓÖÑ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð × ÔÓ× ÓÒ × Ö ×Ô ØÓ Ó × Ð Ñ ÒØ Ð Å ÔÓÖ Ó× Ð × ×Ø Ñ ¸ r1 = s1 + RCM , r2 = s2 + RCM y r1 − r2 = s1 − s2 Ë Ò Ð º º¾ Ô Ö Ð Ú ØÓÖ RCM Ó× Ô ÖØ ÙÐ × ×ÙÑ ÑÓ× Ý Ö ×Ø ÑÓ× m2 r1 × Ø Ò ¸ (m1 + m2 ) RCM + m2 r1 = m1 r1 + m2 r2 + m2 r1 ¾ (m1 + m2 ) RCM + m2 (r1 − r2 ) = (m1 + m2 )r1 ÈÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ð Ë º º¾¸ Ô ×º ¾¾¾¹¾¾ º ¸ Ô ×º ¾ ¾¹¾ Ð Ê º ½℄º ¿ Ð Ê º ℄¸ Ë º º ¸ Ô ×º ½ ¹½ Ð Ê º ¾℄ Ý Ð ÑÔÐÓ ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÐÙ ÔÙÒØ × Ó¸ r1 = RCM + Ý ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ¸ m2 (r1 − r2 ), m1 + m2 r1 = RCM + × Á m2 (s1 − s2 ) m1 + m2 r2 = r1 − (s1 − s2 )¸ m2 m1 − 1 (s1 − s2 ) = RCM − (s1 − s2 ) m1 + m2 m1 + m2 r2 = RCM + Ò ÐÑ ÒØ ¸ r1 = RCM + ÁÒØÖÓ Ù ÑÓ× m2 (s1 − s2 ) m1 + m2 Ð Ú ØÓÖ¸ q = s1 − s2 = r1 − r2 ÙÝÓ Ñ ÙÐÓ Ø ÙÐ × Ý Ð × Ð ×Ø Ò Ù ÓÒ × ÕÙ Ò q Ö Ú Ð Ú ØÓÖ Ð Ý ×Ù Ö Ð Ø Ú ÒØÓÒ × ÜÔÖ × × Ð Ø Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ò Ö Ò Ø ×Ø µ q m1 µ vq m1 × ×Ø Ñ ×Ù ×Ø ØÙÝ Ò Ó Ð × Ú ÐÓ Ec = ÇÔ Ö Ò Ó Ö ×ÙÐØ Ò ÐÑ ÒØ × Ò Ö Ð Ñ × ÍÒ Ö ×ÙÐØ Ò Ø × Ö º Ù Ù Ó Ò ÐÓ Ó × ×
ÓÑÔÓÒ Ó Ø Ò Ò 2 s2 m2 Y º¿ Ë ×Ø Ñ Ó× Ô ÖØ ÙÐ ×º µ q m2 ´ º½ µ Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × Ú ÐÓ µ vq m2 ×¸ ´ º½ µ ×¸ m1 v12 m2 v22 + 2 2 º½ ¸ Ec = Ð ÙÖ v2 = VCM − 1 (m1 + m2 ) 2 VCM + µ2 2 2 ÙÒ = s1 −s R cm O r2 = RCM − Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ec = ÓÒ × 2 r2 Ò ÑÔÓ ÕÙ r1 −r CM Z vq = s˙1 − s˙2 = r˙1 − r˙2 v1 = VCM + Ä Ò ÙÒ q= s1 r1 X Ö ×Ô ØÓ Ö Ú Ò Ó Ö ×Ô ØÓ Ó× Ô Ö¹ m1 m2 m1 + m2 r1 = RCM + Ý Ð × Ð × ×Ø Ñ ¸ vq ¸ Ú ÐÓ m1 ´ º½ µ ÒØÖ Ñ × Ö Ù ÒÓÑ Ò µ= Ä × m1 (s1 − s2 ) m1 + m2 r2 = RCM − Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ 1 1 + m1 m2 Ð º vq2 º ¸ M 2 µ V + vq2 2 CM 2 Ó× Ø ÖÑ ÒÓ×¸ Ð × Ð
ÙÐ ÑÓ× Ð ÒØÖÓ ´ º½ µ Ñ × × Ý ÓØÖ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö ×Ô ØÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ó¸ Lo = r1 ∧ m1 v1 + r2 ∧ m2 v2 ¿ ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ× ÖÓÒ ÙØ Ó× ÓÔ Ö Ò Ó × Ó Ø ÄÐ ÑÓ× Ð Ò ÐÑ ÒØ Ò Ö Å µ2 µ2 + m1 m2 ÙÒ Ò Ø ×
ÓÑÔÓ× ÕÙ ÕÙ Ú Ð Ò Ð (q ∧ vq ) Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó º Ò ÐÓ Ð ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ× º½¾¸ L = RCM ∧ M VCM + q ∧ µ vq Ä × Ù ÓÒ × × ×Ø Ñ Ð º½ º Ù ÖÞ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý º½ º¾º Ò ×º º½ ¸ × m1 Ý ÓÒ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ð Ð ×Ó Ñ × Fi12 = −Fi21 m1 ËÙÑ Ò Ó Ð × Fe1 = Fe1 + FI1 Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × ÐÓ ÒØ ÖÚ º º¾º ÅÓÚ Ñ ÍÒ ×Ó ÕÙ º Ò Ò Ð × Ù ÖÞ × ÒØÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ò m2 Ý Ò Ø ×Ø Fe1 Ø ÒØÖ º ÒØ Ö × Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ´ ×Ø Ò ÒÑ Ú Ð Ö Ø º ÑÓÚ Ñ Ð Ð ÑÓÚ Ñ ÙÒ ÒØÓ Ô Ö ÒØÓ ÒØÓ ×ÓÒ¸ ´ º½ µ Ò
ÓÒØÖ ÑÓ×¸ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ × ×¸ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × Ô Ò Ð × Ñ × × Ð ØÖÓ×Ø Ø Ó ´ Ó× Ð ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ Ð r1 ÓÒ × Ò Ð ÑÓÚ Ñ Ð Ò y Ñ × × ×Ø Ò m1 Ý m2 Ö Ð Ø Ú ¸ r1 − r2 |r1 − r2 | Ý m2 º º ¿º µº Ë ×Ø ÑÔÐ Ø ÔÓ ÑÓ× Ù ÖÞ × Ô ÖØ Ò Ð Ú ØÓÖ q = r1 − r2 q q ÒØ Ö ÓÖº Ë ÒØÓ Ò Ö m1 ×Ù ÐÓ× ÔÓØ Ò ÓÒ× F(q) = − Ö ÑÓ× ÕÙ Ó× Ù ÖÔÓ× × Ð U (q) r1 ¸ F(q) = −∇U (q) ¿ Ò ÙÒ × ÑÓÚ Ñ dVCM = Fe1 + Fe2 dt Ù ÖÞ × ÕÙ ÕÙ º ¿º¾µ Ó Ò ÙÒ ÑÔÓ |q| Ø Ð ÜØ ÖÒ ×º × ÒØ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ô ÖØ ÙÐ Ù ÓÒ × Fe2 = Fe2 + FI2 º½ µ¸ Ô ÖÑ Ò Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × dv2 = Fe2 + Fi21 dt F(q) = F (q) Ý ÔÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ù ÖÞ × ÒØÖ Ð × × Ñ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÑÔÓ ´ Ý × ×Ø Ñ Fee º Ä Ý F(|r1 − r2 |) = F (|r1 − r2 |) Ý ÕÙ ´ º½ µ dv1 dv2 + m2 = (Fe1 + FI1 + F21 ) + (Fe2 + FI2 + F12 ) dt dt M = m1 + m2 ÓÒ ÜØ Ö ÓÖ × dv1 = Fe1 + Fi21 dt Ò Ó Ò Ö Ò Ö Ð ×Ó Ö Ý Ù ÖÞ × M Ò Ö Ò ¸ Lo = RCM ∧ M VCM + Ô Ö ÈÓÐ Ø Ò µ µ q) ∧ (m1 VCM + µ vq ) + (RCM − q) ∧ (m2 VCM − µ vq ) m1 m2 Lo = (RCM + ÓÒ ÍÒ Ú Ö× dU q dq q Ô Ò Ö Ù Ð Ñ × Ð × Ð Ñ ÒØ m1 ÙÒ Ð ÙÖ×Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ ÔÐ Ò Ó Ð ÔÓÖ ÔÙÒØ × º Ð ÔÙÒØÓ × ×Ø Ñ º½¾º Ë r1 Ó Ð ÕÙ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × ÑÓ Ó ÕÙ Ð Å ÓÑÓ × Ð º ÒÓÑ Ò Ò
Ù ÒØÖ Ð × ×Ø Ñ Ù Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ù Ö Ó ÒØÖÓ Ù ÖÞ ×º ÓÒ× Ö Ö ×Ð Ó¸ × Ö¸ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò × ÙÒ ×Ô Ó × ÙÒ ØÖ º Ð ÖÓ Ò Ö ÒØ × Ò Ô × × Á ÑÔÖ ÑÓ× Ñ × ÕÙ Ð Ù ÖÞ × ÜØ ÖÒ × Ðº ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ×Ø × ×Ø Ñ Ó× Ô ÖØ ÙÐ × × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ p1 + p2 = (m1 + m2 ) VCM Ý ×Ù× Ú ÐÓ × Ø × p′1 Ý p′2 Ö ×Ô = 0º ÑÔÐ × ′ Ò p1 p′2 + ØÓ ÙÒ Ö Ò Ó Ð × Ö Ò ×º µ ÓÒ × Ð Ñ × Ö Ù ¸ º½ ¸ q = r1 − r2 dvq = r¨1 − r¨2 = dt Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ù Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ F(q)¸ Ð Ö ×Ô ØÓ ÙÒ × × ÑÔÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ð × Ú ÐÓ ÑÔÐ Ò Ó Ð Ò
Ù ÒØÖ ÓÒ Ò q = r1 − r2 F = −∇U Ý Ð º F(q) ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ý vq º Ø Ñ Ò
ÓÒØÖ Ö× ×
ÓÑÔÓÒ ÑÓ× Ð q = r1 − r2 Ý º½¿ ÔÓ Ò Ð ×Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÕÙ vθ Ð Ð Ö ÕÙ E = Ec + U (q) = Ð Å Ð × ×Ø Ñ Ê ×Ø Ò Ó Ð × ×º ÑÓÚ Ñ Ù ÖÞ Ó ÙÐ Ö ÕÙ × ÑÙ Ú º½ Ý Ó Ð Ò Ð ×Ø Ò q = r1 − r2 × × ÓÒ× ÖÚ ¸ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó¸ Ð ÑÓÚ Ñ LCM Ò ÒØÖ Ð F ÒØÓ Ð ÕÙ × Ñ × ÔÓ ÒØ Ö ÓÖ ´Ú Ö È º Ó× ÐÓ× Ú ØÓÖ × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ÑÓ× Ò ×Ù× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ö LCM = cte.