Einführung in die Algebra by Heinz Lüneburg (auth.)

By Heinz Lüneburg (auth.)

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Ist eine Gruppe, wie aus I, 1. 1 , I, 1. 4 un:l. I,1. 3 folgt. 2) 3) Es sei Meine Menge un:l. P(M) ihre Potenzmenge. Sini X,Y E P(M), so setzen wir X + Y = (X v Y) " (X (\, Y). Wir zeigen, daB P(M) ( +) eine Gruppe ist. Zurechst ist klar, daB X + Y E P(M) ist, so daB + eine bin1:lre VerknUpfung auf P(M) ist. Urn die Assoziativit&t zu beweisen, seien X,Y,Z E P(M). Wir zeigen zurechst, daB X + (Y + Z) ~ (X + Y) + Z ist. Dazu sei u E X + (Y + Z). 1. Fall: u E X. Dann ist u q: Y + Z. Dies ergibt zwei Unterf&lle, ruirnlich u E X, Y, u E Z un:l.

Rst schlie£lich xa = e, so ist x = xe = x(ab) = (xa)b = eb = b, q. e. d. Das Element e ist also nicht nur eine Linkseins von G, somern auch eine Rechtseins. Wir nennen e daher die Eins in G, bzw. das Einselement von G. Wird die VerknUpfung in G additiv geschrieben, so wird man sinngern1W> von der Null in G bzw. dem Nullelement von G reden. Gelegentlich nennt man dieses ausgezeichnete Element auch das bez. der in G erkHlrten VerknUpfung neutrale Element. tltiplikativ geschrieben wiro, das zu a inverse Element oder auch das Inverse von a.

Statt multiplikativ abgesehlossen, sagt man natilrlieh additiv abgesehlossen, wenn die Verknupfung additiv gesehrieben wim. 3. Hilfssatz. Ist U eine nieht-leere, endliehe Teilmenge der Gruppe G, so ist U genau dann eine Untergruppe von G, falls U multiplikativ abgesehlossen ist. Beweis. Jede Untergruppe einer Gruppe ist multiplikativ abgesehlossen. Es sei also umgekehrt U eine endliehe, nieht-leere Teilmenge von G, die multiplikativ abgesehlossen ist. Ist v E U, so definieren wir die Abbildung cr (v) von U in sieh wie folgt: ucr(v) = uv fUr alle u E U.

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