Finite-Elemente-Methode: Lehrbuch Grundbegriffe der by Wilfried Gawehn

By Wilfried Gawehn

Matrizenrechnung Grundbegriffe der linearen Elastostatik Energiemethoden Die direkte FE-Methode Aufbau und Lsung der Gesamtsteifigkeitsbeziehung Das Prinzip vom minimal der totalen potenziellen Energie Konstruktion von Elementsteifigkeitsmatrizen Ersatzlasten Variationsmethoden Die Prinzipe von d'Alembert, Lagrange und Hamilton Konstruktion von Elementmassenmatrizen Ungedmpfte und gedmpfte Systeme Modale Dmpfung

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Betrachtet guy den ProzeB des Konstruierens hinsichtlich sei ner Tatigkeiten, so kann guy feststellen, daB bei ihm vor al lem Informationen gewonnen, verarbeitet und ausgegeben werden mussen; guy spricht von einem Informationsumsatz / 1 /. Ein hoher Zeitanteil wird hierbei fur die Informationsbeschaf fung benotigt, die je nach Tatigkeitsbereich 15% bis 20% der gesamten Konstruktionszeit betragt / 2 /.

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Zu diesem Zweck wollen wir uns kurz den Begriff der Taylorentwicklung fUr Funktionen in das Gedachtnis rufen. Die Funktion y = f(x) wird im Funkt Po(xo/f(xo)) betrachtet und sei in der Umgebung [x0 - dx; x0 + dx] 0 von x (n+l)-mal differenzierbar. Dann gilt fUr den Funktionswert f(xo+ dx) die folgende Entwicklung: f(xo+ dx) = f(x 0 ) + ~ + ~2 I! 2! mit + ... + f(n+l) (u) n+l (n+l)! dx UE ~n n! 1) Die Taylorentwicklung gestattet die Approximation der Funktion y = f(x) in der Umgebung von xo durch ein Polynom.

0 ergeben. Bei Gesamtsteifigkeitsmatrizen in der Finite Element Methode ist dies gewahr1eistet. 4 besprochenen Cholesky-Verfahren behandelt . 23: 2x 1 +- 3x 2 x3 5x 2 -6x 1 + 2x 1 5x 2 + 6x 3 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 R b L sie mit dem im Abschnitt 20 2x 4 -45 6x 4 -3 3x 4 58 0 20 -3 2 15 7 0 1 -2 7 3 0 0 5 -10 -2 + + 2 3 -1 0 4 0 0 0 0 0 0 2 3 -1 0 -6 -5 0 2 -2 1 0 2 -5 6 -6 0 4 1 4 6 2 -3 20 1 0 -45 -3 1 -3 1 58 2 1 Y x A Wir bestimmen zunachst die Matrizen Lund R wie oben beschrieben. Wenn wir den gegebenen Vektor blinks neben L schreiben, konnen wir bequem die Zwischenlosung y durch vorwartseinsetzen in L bekommen und schreiben y dann neben R.

B. einen ideal starren Kerper an, so fallt der Anteil der Deformation weg. Innerhalb der Elastizitatstheorie interessiert man sich andererseits fUr die Deformationen elastischer Kerper. Betrachten wir die Veranderung eines Stabes unter Belastung. B' A I I I Bild 3-2a , ' A' Bild 3-2b ' Ein innerhalb eines Stabwerks eingebetteter Stab wird durch die auEere Belastung aus der ursprUnglichen Lage AB in die neue Lage A'B' gebracht (Bild 3-2a). Er erfahrt Translation, Rotation und Deformation. Da ein Stab nur Langskrafte aufnelunen kann, ist ein Verbiegen nicht meglich.

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