Mathematische Statistik by Ludger Rüschendorf (auth.)

By Ludger Rüschendorf (auth.)

Eine intestine motivierte Einführung in zentrale und vielfältige Themen, Methoden und Anwendungen der mathematischen Statistik wird in diesem Lehrbuch gegeben. Ausgehend von der statistischen Datenanalyse werden klassische und auch neuere Konstruktionsprinzipien für statistische Verfahren behandelt und begründet. Das Buch versucht neben den klassischen Themengebieten auch in neuere Anwendungen einzuführen. Diese reichen von Methoden der asymptotischen Statistik über nichtparametrische Schätzverfahren, robuste und sequentielle exams sowie zur Statistik von Zählprozessen mit bedeutsamen Anwendungen z.B. in der Survival-Analyse bis hin zur Bildverarbeitung und Bildrekonstruktion und zum Quantile hedging in der Finanzmathematik.

Das Buch zeigt, dass die Mathematische Statistik ein Gebiet mit vielen besonders schönen Ideen und Methoden und überraschenden Resultaten ist.

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H. Δϕ ≤ 0, dann ist D > 0 und damit ist x nicht zul¨ assig. B. ist ϕ(x) = x 2−k harmonisch und diese Wahl f¨ uhrt mit dem obigen Verfahren zu dem James-Stein-Sch¨ atzer. Auch der James-Stein-Sch¨ atzer ist nicht zul¨assig. Eine einfache Verbesserung ist k−2 d+ (x − μ) + μ. h. Θ1 , Θ2 ∈ AΘ , Θ0 + Θ1 = Θ und sei μ ∈ Θ eine a-priori-Verteilung. Mit Δ = {a0 , a1 } und der Neyman-PearsonVerlustfunktion 0, ϑ ∈ Θi , L(ϑ, ai ) := Li , ϑ ∈ Θi c ist mit δ = δϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Φ das Bayes-Risiko L(ϑ, a) δ(x, da) μx ( dϑ) Qπ2 (dx) r(μ, δ) = X Θ Δ =Qx μ (δx ) mit dem a-posteriori-Risiko Qxμ (δx ) = L0 μx (Θ0 )ϕ(x) + L1 μx (Θ1 )(1 − ϕ(x)) = ϕ(x) (L0 μx (Θ0 ) − L1 μx (Θ1 )) + L1 μx (Θ1 ).

Mit den Hypothesen Θ0 = (−∞, 1000], Θ1 = (1000, ∞) f¨ uhrt das zu dem Test ϕ(x) := xn ≥ 1000 + δ, xn < 1000 + δ. 1, 0, Risikofunktion Als n¨ achstes ben¨ otigen wir eine M¨ oglichkeit, den Verlust bzgl. einer Entscheidungsfunktion zu messen. 7 (Risikofunktion) Sei (E, Δ, L) ein Entscheidungsproblem. a) Die Abbildung R : Θ × D → [0, ∞), R(ϑ, δ) := L(ϑ, y) δ(x, dy) X dPϑ (x) Δ heißt Risikofunktion. Rδ := R(·, δ) bezeichnet die Risikofunktion von δ als Funktion auf Θ. b) Die Menge R := {Rδ ; δ ∈ D} heißt Risikomenge.

Ist das Risiko von d1 dagegen unendlich. In jedem Lokationsmodell mit Varianz σ 2 hat das arithmetische Mittel d1 (x) = xn dasselbe Risiko. Es zeigt sich (sp¨ater in der Sch¨atztheorie), dass d1 ein optimaler Sch¨atzer im Normalverteilungsmodell ist. Hieraus ergibt sich, dass der Lageparameter im Normalverteilungsmodell am schwierigsten zu sch¨atzen ist unter allen Modellen mit derselben Varianz σ02 . Im Modell 2. mit a = 1 ergibt sich mit etwas Rechnung R(ϑ, d2 ) = 1 1 ∼ . 2(n + 1)(n + 2) 2n2 Das Risiko von d2 ist unabh¨angig von ϑ.

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