Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller by Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

By Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

Das Buch vermittelt die Herleitung numerischer Algorithmen zur Lösung von Differenzialgleichungen und gibt einen Einblick in die praktische Implementierung. Anhand von Beispielen und Übungsaufgaben mit Problemstellungen aus der Ingenieurspraxis werden Eigenschaften und Einsatzbereiche der verschiedenen Verfahren erläutert. Das Buch eignet sich für Studierende aller ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen und für Ingenieure, die selbständig Simulationsaufgaben ausführen und modifizieren wollen.

Die beiliegende CD-ROM enthält neben dem Lösungsweg zu den einzelnen Übungsaufgaben im pdf-Format eine interaktive model des Buches. Mit dieser kann der Leser die beschriebenen Verfahren mit Hilfe des Computer-Algebra-Systems MAPLE direkt aus dem textual content heraus selbst ausführen. Die MAPLE-Worksheets mit anwendungsorientierten Beispielen und Visualisierung der Ergebnisse können leicht modifiziert und erweitert werden.

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Applied Stochastic Processes and Control for Jump-Diffusions: Modeling, Analysis, and Computation (Advances in Design and Control)

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F1 h a x1 f2 h f3 h x2 h x3 b Abb. 7. , xn−1/2 = b − h/2 ist. 8 dargestellt. Dabei haben wir die alte Bezeichnung wieder beibehalten. Die Teilintervalle f 1/2 a h f 3/2 x1 h f 5/2 x2 h b=x3 Abb. 8. MacLaurin-Formeln sind durch [xi−1 , xi ] f¨ ur i = 1, ... , n gegeben. Zum Exaktheitsgrad all dieser Formeln l¨ asst sich feststellen: Eine Newton-Cotes-Formel mit k ¨ aquidistanten St¨ utzstellen hat • den Exaktheitsgrad k , falls k ungerade • den Exaktheitsgrad k − 1, falls k gerade ist, das heißt, Polynome bis zum k -ten bzw.

Ist die gew¨ unschte Genauigkeit nicht erreicht, kommt eine neue Zeile dazu bis |Tj ,J − Tj +1,J | < ε, so dass Tj +1,j +1 als N¨ aherungswert akzeptiert wird. Das Verfahren sucht sich so bei vorgegebener Genauigkeit die Ordnung selbst. 2. Wenn man zu feineren Unterteilungen u ¨bergeht, steigt der Rechenaufwand des Romberg-Verfahrens relativ stark an, wie die Zusammenstellung der St¨ utzordinaten zeigt: Schrittw. O) h5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ +8 = 17 (10. NN ): T i, n, m, N , p Integer: ¨ Ubernehme (a, b, N ) T1,1 = (b − a) f (a) + f (b) 2 n=2 Solange n ≤ N h= b−a 2n−1 q =0 i =1 Solange i ≤ 2n−1 − 1 q = q + f (a + ih) i =i +2 Tn,1 = Tn−1,1 + hq 2 p=4 m=1 Solange m ≤ n Tn,m = Tn,m−1 + Tn,m−1 − Tn−1,m−1 p−1 p = 4p m =m +1 n =n +1 Gib TN ,N zur¨ uck.

6 (Simpson-Regel, mitMaple-Worksheet). 5) vom letzten Abschnitt auf: 3 (x 3 − 2x ) dx . 25 3 und stimmt genau mit dem exakten Wert u urlich ¨berein. Ist dies Zufall? Nat¨ nicht! 27) zeigt, dass dort die vierte Ableitung des Integranden steht. Diese ist bei dem Polynom dritten Grades Null und somit liefert die N¨ aherungsformel den exakten Wert. 6 diskutiert, liefert die Simpson-Regel f¨ ur jedes Polynom vom Grade kleiner oder gleich drei den exakten Wert. Dies kann man als ein Maß der G¨ ute der Quadraturformel festhalten: Die Simpson-Regel integriert Polynome bis Grad 3 exakt.

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