Eigenwertberechnung in den Ingenieurwissenschaften: Mit by Prof. Dr. rer. nat. Peter Spellucci, Prof. Dr. rer. nat.

By Prof. Dr. rer. nat. Peter Spellucci, Prof. Dr. rer. nat. Willi Törnig (auth.)

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Betrachtet guy den ProzeB des Konstruierens hinsichtlich sei ner Tatigkeiten, so kann guy feststellen, daB bei ihm vor al lem Informationen gewonnen, verarbeitet und ausgegeben werden mussen; guy spricht von einem Informationsumsatz / 1 /. Ein hoher Zeitanteil wird hierbei fur die Informationsbeschaf fung benotigt, die je nach Tatigkeitsbereich 15% bis 20% der gesamten Konstruktionszeit betragt / 2 /.

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Daß ein FundamentaJsystem von Ax = 0 bekannt ist. • x*(d) ein Fundamentalsystem von Ax = O. • cd Zahlen sind. 4-10) wesentlich darauf an. ein Fundamentalsystem des zugehörigen homogenen Systems zu kennen. 4-10). -38- Damit ist die Frage, wieviele Lösungen ein vorgelegtes lineares Gleichungssystem besitzt, im wesentlichen beantwortet. Mit der zentralen Frage, wie man diese Lösungen praktisch berechnet, werden wir uns weiter unten befassen. Auch lineare Gleichungssysteme werden in der Regel nicht "exakt" gelöst.

Es gibt jedoch Fälle, wo trotz Pivotisierung die Rechenergebnisse unbrauchbar sind. Dies ist oft bei sehr schlecht konditionierten Systemen der Fall (vgl. 4). In solchen, aber auch in weniger schwierigen Fällen, kann eine sogenannte Nachiteration weiterhelfen. 8-10) Theoretisch erfüllt x(l) das System Ax = a, praktisch ist x(l) aber wieder nur eine Näherungslösung dieses Systems, da sie auf ähnlichem Wege wie x(O) berechnet wurde. Ist x(l) noch zu ungenau. so setzt man den Iterationsprozeß fort.

Bnn + 0 ->b ii + 0, i =1, ... ,n. Ist det A = 0, so besitzt Ax = a, wie wir gesehen haben, genau dann Lösungen, wenn Rg A = Rg(A,a) = r gilt. ••..... 5-4) besitzt mit bil + 0, i=1, ... ,r. Wegen der speziellen Form dieses Systems ist Rg B ~ r, Rg(B,b) ~ r. • b1r b22 ... b2r det " 0 ,, b1,- ••. ·b rr + 0, ' b rr und da dies eine r-reihige Unterdeterminante ist, gilt in der Tat Rg B = Rg(B,b) = r. h. wie man eine allgemeine Lösung bestimmt, werden wir später sehen. Zunächst erhebt sich aber die Frage, wie man das System Ax = a auf ein System Bx = b der angegebenen Form reduziert.

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