A table of anti-logarithms to seven places and Gauss by Herschell E Filipowski

By Herschell E Filipowski

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F1 h a x1 f2 h f3 h x2 h x3 b Abb. 7. , xn−1/2 = b − h/2 ist. 8 dargestellt. Dabei haben wir die alte Bezeichnung wieder beibehalten. Die Teilintervalle f 1/2 a h f 3/2 x1 h f 5/2 x2 h b=x3 Abb. 8. MacLaurin-Formeln sind durch [xi−1 , xi ] f¨ ur i = 1, ... , n gegeben. Zum Exaktheitsgrad all dieser Formeln l¨ asst sich feststellen: Eine Newton-Cotes-Formel mit k ¨ aquidistanten St¨ utzstellen hat • den Exaktheitsgrad k , falls k ungerade • den Exaktheitsgrad k − 1, falls k gerade ist, das heißt, Polynome bis zum k -ten bzw.

Ist die gew¨ unschte Genauigkeit nicht erreicht, kommt eine neue Zeile dazu bis |Tj ,J − Tj +1,J | < ε, so dass Tj +1,j +1 als N¨ aherungswert akzeptiert wird. Das Verfahren sucht sich so bei vorgegebener Genauigkeit die Ordnung selbst. 2. Wenn man zu feineren Unterteilungen u ¨bergeht, steigt der Rechenaufwand des Romberg-Verfahrens relativ stark an, wie die Zusammenstellung der St¨ utzordinaten zeigt: Schrittw. O) h5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ +8 = 17 (10. NN ): T i, n, m, N , p Integer: ¨ Ubernehme (a, b, N ) T1,1 = (b − a) f (a) + f (b) 2 n=2 Solange n ≤ N h= b−a 2n−1 q =0 i =1 Solange i ≤ 2n−1 − 1 q = q + f (a + ih) i =i +2 Tn,1 = Tn−1,1 + hq 2 p=4 m=1 Solange m ≤ n Tn,m = Tn,m−1 + Tn,m−1 − Tn−1,m−1 p−1 p = 4p m =m +1 n =n +1 Gib TN ,N zur¨ uck.

6 (Simpson-Regel, mitMaple-Worksheet). 5) vom letzten Abschnitt auf: 3 (x 3 − 2x ) dx . 25 3 und stimmt genau mit dem exakten Wert u urlich ¨berein. Ist dies Zufall? Nat¨ nicht! 27) zeigt, dass dort die vierte Ableitung des Integranden steht. Diese ist bei dem Polynom dritten Grades Null und somit liefert die N¨ aherungsformel den exakten Wert. 6 diskutiert, liefert die Simpson-Regel f¨ ur jedes Polynom vom Grade kleiner oder gleich drei den exakten Wert. Dies kann man als ein Maß der G¨ ute der Quadraturformel festhalten: Die Simpson-Regel integriert Polynome bis Grad 3 exakt.

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